太陽同期軌道の傾斜角をPythonで計算｜"いつも同じ太陽角度"のしくみ

地球観測衛星の多くは 太陽同期軌道 を使います。いつも同じ地方時（例: 午前10時半）に上空を通るので、影の条件がそろって比較しやすい。この"魔法"の正体は、地球の膨らみを逆に利用すること。Pythonで必要な軌道傾斜角を計算します。

しくみ：膨らみで軌道面を回す

地球は自転で赤道がやや膨らんでいます（J2）。この膨らみは衛星の軌道面をゆっくり回転させる（歳差）力になります。この回転が**ちょうど1年で1周（0.9856°/日）**になるよう傾斜角を選ぶと、軌道面と太陽の角度が一定に保たれます。

準備

pip install numpy

① 太陽同期に必要な傾斜角を計算

軌道面の歳差が年 360° になる傾斜角を、J2の式から逆算します。

import numpy as np

GM = 3.986e14
R = 6.378e6            # 地球赤道半径
J2 = 1.08263e-3        # 地球の扁平を表す係数
YEAR = 365.2422 * 86400
precession_rate = 2 * np.pi / YEAR    # 太陽同期に必要な歳差(rad/s)

def sso_inclination(alt_km, e=0.0):
    a = R + alt_km * 1000              # 長半径（円軌道と仮定）
    n = np.sqrt(GM / a**3)             # 平均運動
    # 軌道面歳差の式を cos(i) について解く
    cos_i = precession_rate * (-2/3) * (a/R)**2 * (1 - e**2)**2 / (J2 * n)
    return np.degrees(np.arccos(cos_i))

for alt in [400, 600, 800]:
    print(f"高度 {alt}km → 傾斜角 {sso_inclination(alt):.2f}°")

出力:

高度 400km → 傾斜角 97.03°
高度 600km → 傾斜角 97.79°
高度 800km → 傾斜角 98.60°

いずれも 約97〜99° の傾斜角。90°をわずかに超える「ほぼ極軌道だけど少し傾いた」軌道が太陽同期の正体です。高度が上がるほど、必要な傾斜角も少し増えます。

まとめ

• 太陽同期軌道は常に同じ地方時に通過する観測向き軌道
• 地球の膨らみ(J2)による軌道面の歳差を、年1周に合わせる
• 必要な傾斜角は高度により約97〜99°（ほぼ極軌道）
• J2という"癖"を逆に利用する軌道設計の好例

もう少し詳しく（背景と理論）

太陽同期軌道は、地球の扁平（赤道が膨らんだ形）が生む J2摂動 を積極利用します。J2 は軌道面をゆっくり回す昇交点の歳差を引き起こし、その量は軌道傾斜角・高度・離心率で決まります¹。この歳差を「1年で360度（＝1日約0.9856度）」にちょうど合わせると、軌道面と太陽の位置関係が一年中保たれ、衛星は常に同じ地方時に同じ緯度を通過します²。だから地球観測衛星は毎回同じ太陽高度で撮影でき、画像の比較がしやすい。必要な傾斜角は高度により約97〜99度の逆行軌道になります。摂動は普通「乱すもの」ですが、ここでは設計に取り込んだ好例です³。

次の一歩 🌸

軌道の種類は軌道の種類、地上のずれは地上軌跡、衛星の用途は衛星の使い道へどうぞ。

Footnotes

1. J2 は地球重力の扁平による最大の摂動項。昇交点赤経の歳差 dΩ/dt ∝ −J2·cos(i)/a^(7/2) で、傾斜角と高度で歳差率が決まる。 ↩

2. 歳差率を地球の公転（1日約0.9856°）に一致させると太陽同期になる。撮影時の太陽条件が一定に保たれ観測比較に有利。 ↩

3. 摂動は通常は軌道を乱す要因だが、太陽同期軌道は J2 歳差を設計に取り込む。自然の癖を利用する軌道設計の代表例。 ↩