衛星のドップラーシフトをPythonで計算｜通過中に周波数が"ずれる"

救急車のサイレンが近づくと高く、遠ざかると低く聞こえる——あのドップラー効果は電波でも起きます。秒速7kmで飛ぶ低軌道衛星の電波は、通過中に周波数が大きくずれる。この記事ではPythonでシフト量を計算し、衛星通信の設計課題を理解します。

ドップラーシフトの式

送信周波数 f、視線方向の相対速度 v_r（近づくとプラス）、光速 c のとき、シフトは次で決まります。

Δf = f × v_r / c

衛星が近づくときは高く、遠ざかるときは低く受信されます。

準備

pip install numpy

① 最大ドップラーシフトを計算

低軌道衛星が地平線から昇るとき、視線速度が最大になります。

import numpy as np

c = 299_792_458          # 光速 m/s
f = 437e6                # 送信周波数 437MHz（アマチュア衛星帯）
v_sat = 7600             # 低軌道の軌道速度 m/s（約7.6km/s）

# 衛星が地平線近くにいるとき、視線速度は軌道速度の一部
# 真上を通る軌道なら、地平線での視線速度 ≈ 軌道速度に近い成分
v_radial_max = v_sat * 0.9   # 近似（幾何で決まる）

df = f * v_radial_max / c
print(f"最大ドップラーシフト: ±{df/1000:.1f} kHz")

出力は約 ±10 kHz。437MHzに対して1万Hz以上ずれます。UHF帯ではこの程度でも、GHz帯ではさらに大きくなります。

② 通過中のシフト変化

衛星が近づく→真上→遠ざかるにつれ、シフトはプラスからマイナスへS字を描いて変化します。

# 視線速度が +v_max から -v_max へ変わる様子を簡易表現
for frac in [1.0, 0.5, 0.0, -0.5, -1.0]:
    v_r = v_radial_max * frac
    df = f * v_r / c
    state = "接近" if frac > 0 else ("真上" if frac == 0 else "遠ざかる")
    print(f"{state:>6}: {df/1000:+6.1f} kHz")

真上を通過する瞬間に視線速度がゼロになり、シフトも0。**接近時は+、通過後は−**へと連続的に変化します。

まとめ

• 動く衛星の電波は周波数がずれる（ドップラー効果）
• Δf = f × 視線速度 / c。低軌道437MHzで最大±10kHz程度
• 接近時は+、真上で0、遠ざかると−とS字に変化
• 地上局は周波数を追尾して補正する。GPSでも必須

もう少し詳しく（背景と理論）

ドップラー効果は、電波源と観測者の**相対速度（視線方向成分）**によって周波数がずれる現象です。衛星が近づくときは周波数が上がり、遠ざかると下がります。ずれ量は Δf ≈ f·(v_r/c)（v_r は視線速度）で近似できます¹。低軌道衛星は高速で通り過ぎるため、頭上を通過する間に周波数が高→低へ大きく変化する Sカーブを描き、その傾きが最急になる瞬間が最接近点です²。この関係は逆用でき、受信したドップラー履歴から衛星の軌道を推定できます——史実として初期の衛星スプートニクのドップラー観測が測位技術（後のGPS）の着想につながりました³。実務では、地上局や受信機がこの周波数偏移を補償する必要があります。

次の一歩 🌸

電波が届くかはリンクバジェット、地上のどこを通るかは地上軌跡、衛星の基礎は衛星の基礎へどうぞ。

Footnotes

1. 視線速度 v_r による周波数偏移 Δf ≈ f·v_r/c。接近で正（高く）、離反で負（低く）。横切る瞬間（v_r=0）で偏移ゼロ。 ↩

2. 低軌道衛星のパス中、ドップラーは高→ゼロ→低とS字を描く。偏移ゼロの点が最接近（TCA）で、S字の傾きから距離・速度を推定できる。 ↩

3. スプートニク(1957)のドップラー観測から軌道決定・測位の発想が生まれ、Transit（初の衛星測位系）を経てGPSへ発展した。 ↩